套利模型【无套利期限结构模型：Ho-Lee模型（胡-李模型）】

在无套利模型中，分析过程一般应从可观察到的金融工具价格开始，假设分析所采取的参考集定价是正确的。通过假设一个具有漂移项和波动因子的随机过程，来生成收益率曲线。确定期限结构的计算过程就是生成金融工具参考集市场价格的估值过程。这些模型被称为“无套利”的原因是因为它们产生的价格与市场价格相匹配。

将模型数据与市场数据进行校准的能力是一个模型的理想特性，由此我们可以指出Vasicek和CIR模型的短板：他们只有有限的参数数量，所以它不可能通过指定参数值而使得模型价格与市场价格保持一致。在无套利模型中，通过允许参数随时间的确定性变化，让这个问题得到了克服。因此，市场收益率曲线的建模精度可以满足衍生品和含权债等产品的估值需求。

第一个无套利模型是由胡和李引入的。它使用了Black-Scholes-Merton期权定价模型中相对估值概念。因此，或有债权利率的估值完全是基于收益率曲线的形状及其运动。该模型假设收益率曲线的移动符合无套利条件。

在Ho-Lee模型中，短期利率遵循一个正态过程，如公式1所示:

公式1

drt = θtdt + σdzt

这个模型可以通过市场价格推断与时间相关的漂移项的形式，θt，来进行市场数据的校准。这意味着模型可以精确地构造当前的期限结构。这种校准通常通过二叉树模型进行，在该模型中，每一个节点的收益率曲线可以以相同的概率上下移动。这种概率被称为“隐含风险中性概率”，通常被称为“风险中性概率”，这容易对人产生误导，因为无套利模型并不像局部预期理论那样假定市场参与者是风险中性的。这类似于经典的布莱克-斯科尔斯-默顿期权定价模型（Black-Scholes-Mertonoption model）对价格变动进行的简化，因为我们可以“认为”市场投资者是风险中性的，从而对债券定价。

为了使讨论更加具体，我们给出一个两阶段的Ho-Lee模型。假设当前的短期利率是4%。时间步长是一个月，漂移项通过市场价格确定，第一个月θ1 = 1%，第二个月θ2= 0.80%。年度波动率为2%。下面，我们为短期利率创建了一个二步二叉树模型。请注意，月度的波动是：

时间步是

drt = θtdt + σdzt = θt(0.0833) +(0.5774)dzt

如果第一个月利率上行，

r = 4% + (1%)(0.0833) + 0.5774% = 4.6607%

如果第一个月利率上行，第二个月利率也上行，

r =4.6607% + (0.80%)(0.0833) + 0.5774% = 5.3047%

如果第一个月利率上行，第二个月利率下行，

r = 4.6607% + (0.80%)(0.0833) – 0.5774% =4.1499%

如果第一个月利率下行，

r = 4% + (1%)(0.0833) – 0.5774% = 3.5059%

如果第一个月利率下行，第二个月利率上行，

r = 3.5059% + (0.80%)(0.0833) + 0.5774% =4.1499%

如果第一个月利率下行，第二个月利率也下行，

r =3.5059% + (0.80%)(0.0833) – 0.5774% = 2.9951%

该模型生成的利率可用于确定零息债券的价格和即期曲线。通过构造，模型输出与市场价格保持一致。由于相对简单，Ho-Lee模型对于描述无套利利率模型的大多数显著特征是有用的。由于该模型生成的未来利率是对称（“钟形”或正态）分布的，所以存在负利率的可能性。请注意，尽管图中的每个节点单周期利率变化的波动率是不变的，但时间变化波动性（与收益率曲线移动的历史行为一致）可以在Ho-Lee模型中建模，因为sigma（利率波动率）可以定义为时间的函数。将波动率的期限结构作为模型输入由于更加复杂，超出了本文的范围。

如前所述，模型是用来对某些现象进行描述并为手头的问题提供解答方案的一种假设。现代利率理论的提出，在很大程度上是为了评估内嵌期权债券的价值，因为内嵌期权的价值往往取决于利率。本文介绍的一般均衡模型将收益率曲线的变动描述为短期利率的变动。它们被称为单因素模型，通常在经验上似乎令人满意。无套利模型并不试图解释所观察到的收益率曲线。相反，这些模型采用给定的收益率曲线。因此，它们有时被称为部分均衡模型。

基本的无套利概念可以用来解决更广泛的问题。如果考虑到期限结构的波动性、收益率曲线形状的不确定性变化、债券信用风险的调整等方面，这些模型可以扩展到许多类型债券的估值。然而，这些扩展仍然基于无套利利率变动的概念。因此，这些模型原则构成了现代金融模型发展的基础。

下面案例阐述了现代期限结构模型的几个基本观点。

现代期限结构模型

1.下列哪一模型可以提供对所观察到的期限结构最精确的模型?

A. CIR模型

B. Ho-Lee模型

C. Vasicek模型

2.对于Vasicek模型，下列哪个陈述是最准确的？它有:

A. 单因子，长期限利率。

B. 单因子，短期限利率。

C. 双因子，短期限利率和长期限利率。

3.CIR模型：

A. 假设利率不会均值回归。

B. 漂移项不同于Vasicek模型。

C．假设利率波动率随利率水平的增加而增加。

解答1：

B是正确的。CIR模型和Vasicek模型是均衡期限结构模型的案例，而Ho-Lee模型是无套利期限结构模型的案例。无套利期限结构模型的一个好处是，它们可以根据当前的期限结构进行模型校准。换句话说，证券的最开始价格就是目前市场上的价格。相反，均衡期限结构模型经常生成与当前市场数据不一致的期限结构。

解答2:

B是正确的。使用Vasicek模型需要对短期利率做出假设，而这些假设通常来自于描述整体经济的状态变量的更总体的假设。在对短期利率进行假设的过程中，可以通过观察长期利率随时间的预期变动路径来确定长期债券的收益率。

解答3:

C是正确的。CIR模型的漂移项与Vasicek模型相同，两种模型都假设利率是均值回归的。两种模型的最大区别在于CIR模型假设利率波动率随利率水平的增加而增加，Vasicek模型假设利率波动率是一个常数。